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一场天才的证明游戏:“黎曼猜想”被证明了吗

黎曼猜想真的被证明了吗?这些日子,关于一个重大数学猜想的疑惑成了萦绕在很多人心头的猜想。

令人心跳加快的9月24日终于到来。宣称已用“简单”而“全新”的方法证明黎曼猜想的英国著名数学家迈克尔·阿蒂亚,在2018年度海德堡获奖者论坛上宣讲了他的相关证明。

但据此下结论,黎曼猜想已被证明,恐怕为时尚早。

“证明太短,直觉告诉我可能不严谨。”对于阿蒂亚的证明,中科院院士、中国数学学会理事长袁亚湘说。

“网上炒得很厉害,但是按照惯例,我们数学工作者一般以论文在学术期刊上正式发表为准。”袁亚湘在接受科技日报记者采访时说。言外之意,阿蒂亚在论坛上口头宣讲的内容仍有待同行评议和时间检验。

一场天才的证明游戏

连续几天在社交网络刷屏的黎曼猜想,已被提出159年之久。

1859年,德国数学家波恩哈德·黎曼在一篇名为《论小于给定数值的素数个数》的论文中提出了这一猜想。此后它便折腾了数学家超过一个半世纪。

曾著有《黎曼猜想漫谈》的知名科普作家卢昌海在接受科技日报记者采访时介绍,黎曼猜想是关于一个被称为黎曼ζ函数的复变量函数的猜想。黎曼ζ函数跟许多其他函数一样,在某些点上取值为零,那些点被称为黎曼ζ函数的零点,其中特别重要的一部分零点被称为非平凡零点。

“黎曼猜想所‘猜’的是:黎曼ζ函数的所有非平凡零点都分布在复平面上一条被称为‘临界线’的特殊直线上。”卢昌海说。

理解黎曼猜想本身就具有一定难度。正如中科院院士王元所言,黎曼猜想不像费马大定理和哥德巴赫猜想那样,只要有中小学数学知识的人,就知道其题意。

不言而喻,证明黎曼猜想的努力也注定是天才的游戏。而在阿蒂亚之前,已有无数挑战者。

据说德国数学家希尔伯特曾被问,如果他能在500年后重返人间,最想问的问题是什么?希尔伯特回答:黎曼猜想是否已被解决?

“如果有魔鬼答应让数学家们用自己的灵魂来换取一个数学命题的证明,多数数学家想要换取的将会是黎曼猜想的证明。”关于黎曼猜想,美国数学家蒙哥马利据称也曾有这番肺腑之言。

数学中“下金蛋的母鸡”

2000年,美国克莱数学研究所将黎曼猜想列为千禧年七大数学难题之一,成功解决其中任何一个难题都将获得100万美元奖金。

但解决黎曼猜想的意义,显然不仅仅是将奖金揽入怀中。

其实,黎曼猜想与素数分布密切相关,这从黎曼那篇论文的题目《论小于给定数值的素数个数》可以看出。

素数又叫质数,指在大于1的自然数中,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数。“由于素数分布是数论中的重要课题,数论又是被德国数学家高斯称为‘数学的皇后’的重要领域,这在一定程度上奠定了黎曼猜想的重要性。”卢昌海说。

更重要的是,黎曼猜想跟诸多数学命题有着千丝万缕的联系。卢昌海介绍,据统计,当今数学文献中有1000条以上的数学命题是以黎曼猜想或其推广形式的成立为前提的。这意味着,黎曼猜想及其推广形式一旦被证明,数学中将史无前例地于“一夜间”新增1000多条定理,这将对数学的面貌产生非同小可的影响。

王元院士曾评价,黎曼猜想和费马大定理、哥德巴赫猜想一样,是数学中“下金蛋的母鸡”,研究它们的目的主要在于发展数学中的新思想与新方法。

“一旦黎曼猜想解决了,人类就站在不知比现在高多少的数学平台上,看到远得多的风景。”王元在《黎曼猜想漫谈》序言中写道。

耄耋之年挑战高峰的勇士

一个是89岁高龄的迈克尔·阿蒂亚,一个是屹立了159年之久的黎曼猜想。这场对决本身就充满悬念。

阿蒂亚在数学领域成就卓著。上世纪60年代,阿蒂亚与另一位著名数学家伊萨多·辛格合作,证明了阿蒂亚—辛格指标定理。1966年阿蒂亚荣获菲尔兹奖,2004年他与辛格共同摘得阿贝尔奖。

但记者采访了解到,阿蒂亚高调宣称证明黎曼猜想,数学界不少人在事先就持半信半疑的态度,认为其可能性不太大。

究其原因,一方面,黎曼猜想确实艰深,此前就有不少人宣称证明这一猜想,后来又被推翻;另一方面,年近九旬的阿蒂亚这几年战绩并不理想。

“87岁时阿蒂亚曾宣称解决了一个有60年历史的数学难题,结果被普遍视为错误;88岁时,他宣称将一个长达255页的著名数学定理的证明简化成12页,结果没能经受同行评议。”卢昌海表示,如今他89岁了,挑战对象反而成了更加艰深的黎曼猜想,不能不让人替他捏把汗。

但无论这份黎曼猜想的证明最终能否经得起考验,阿蒂亚的勇气还是令人钦佩的。

一位不愿具名的数学研究人员告诉科技日报记者,他曾师从辛格,而阿蒂亚与辛格关系很好,因此他见过阿蒂亚几次。

“阿蒂亚是非常单纯的人,他愿意不计较个人得失,为热爱的数学事业付出,这是很多数学家、科学家做不到的。”这位数学研究人员说,他相信引起社会对数学如此的关注度,是阿蒂亚所希望看到的。

相关阅读:“黎曼猜想”被证明? 学者:未看到有分量专家评价

159年前,德国数学家黎曼在题为《论小于给定数值的素数个数》的论文中提出的“黎曼猜想”,一直以来被视作“纯数学领域最重要的问题之一”。尽管无数一流数学家向证明黎曼猜想发起冲击,却无一人能成功——不过就在昨天(9月24号),著名数学家、菲尔兹奖和阿贝尔奖双料得主阿蒂亚爵士或将成为这样一个划时代的人物。

德国海德堡当地时间9月24号上午,阿蒂亚爵士作为海德堡论坛第二位宣讲嘉宾,公布了他对黎曼猜想的证明。他表示,自己基于冯·诺依曼、希策布鲁赫和狄拉克 等人的成果,使用一种“简单而全新”的方法证明了黎曼猜想,引发了全世界数学家们的关注。

45分钟证明演讲中,有30分钟介绍历史 

长期关注人工智能、机器学习领域的垂直媒体“机器之心”昨天全程记录了阿蒂亚爵士在论坛上有关黎曼猜想的宣讲直播。机器之心联合创始人、副主编李亚洲向中国之声介绍说,在9月24号的海德堡获奖者论坛上,最受关注的可能就是阿蒂亚爵士黎曼证明的宣讲了,也因为看直播的人数太多,导致官方直播流崩溃,组织方不得不改用手机直播。其实整个45分钟演讲中,阿蒂亚花了近30分钟的时间介绍历史:素数、黎曼猜想的历史。中间他也开玩笑说,如果你解决了黎曼猜想,你会出名,但如果你已经是个名人,(解黎曼猜想)那就会有声名狼藉的风险”。

因此,可以看出,虽然已经89岁高龄,但阿蒂亚爵士一直在自己的领域努力着。也许,这其实也是阿蒂亚爵士今天想传达的精神。

“这个证明的对与错现在还不明确”

在介绍完历史之后,他就开始介绍Todd函数以及最核心的一页PPT(也就是Todd函数如何帮助证明黎曼猜想的PPT)。阿蒂亚爵士对证明思路的介绍并没有多少,以至于直播间有人调侃30分钟历史介绍,一页PPT证明。最后,阿蒂亚爵士给后辈们提供了建议:就是最后一张PPT提到的四个建议,包括运用如今最强大的工具;验证所有著名的猜想(无论是证明过的还是未证明的);判断出哪些难题可高效计算出;以及决定哪些难题是有时间做的。

整个直播过程中,Twitter上、直播间中的实时讨论与评价,这个证明的对与错现在还不明确,可能经过一段时间的发酵能看的更清楚。

黎曼猜想到底是啥 

黎曼猜想是关于素数,又叫质数的问题,是为了研究素数分布规律。“一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能整除其他自然数的数叫做素数”——这个概念相信很多人第一次接触是在上小学的时候。虽然定义简单且容易理解,但是数学家们却为寻找一个更为精确地表达公式而不断努力。

德国数学家黎曼在《论不超过一个给定值的素数的个数》中提出:素数的分布奥秘与一个复杂的函数密切相关,他在文中定义了一个被后世成为“Zeta”的无穷极函数。黎曼猜测,可能所有非平凡零点都全部位于实部等于1/2的直线上,这条线被称为临界线。这就是令后世数学家魂牵梦绕却辗转反侧的“黎曼猜想”。

物理学博士、科普作家卢昌海这样解释:“黎曼当年提出一个猜想,就是黎曼Zeta函数的所有的非平凡零点都正好排在复平面上的一条直线上,那么这条直线被称为临界线。虽然表面上看只是关于一个复平面函数的猜想,实际上它是跟素数分布有非常密切的关系。”

黎曼猜想若被证明将增加一千多条数学定理

数学界的知名难题——黎曼猜想到底有多重要?卢昌海告诉中国之声记者:“现在数学界有超过一千条数学命题,它是以黎曼猜想的成立为前提的,也就是说它的表述都是‘假如一旦猜想或者他的某种广义形式成立,那么我们可以有这样一个结果’。黎曼猜想如果被证明,那么数学上几乎一夜之间就可以增添一千多条定理——因为那些原来是有条件成立的命题,就全都变成定理了。如果黎曼猜想被证伪的话,那么估计就是一千多条(定理)里面,其中有一些也就不会成立了。所以反方面的影响也是比较大的。那么对现实应用来说,目前据我所知并没有什么特别的影响,主要是对纯数学。”

“世纪之谜”黎曼猜想如何证明?核心论点是什么?在宣讲现场,阿蒂亚爵士仅仅寥寥数页PPT进行了阐释。此前有很多人猜测,阿蒂亚爵士会使用量子力学来证明黎曼猜想,但在演讲中他表示证明黎曼猜想的是一个名为Todd的函数。那么黎曼猜想被证明后,有何用处?阿蒂亚爵士的回答是,黎曼猜想能推广到多种情况,并且一步步得到证明,它的证明对年轻的数学、计算机科学、逻辑学和物理学研究者非常重要。

物理学博士:尚未看到有分量的专家评价

根据深科技的报道,阿蒂亚爵士称,他关于精细结构常数α(念阿尔法)的相关论文已投稿至英国皇家学会。介于这篇文章目前还未经过同行审议,一些学者对他的推演过程存疑。同样,也有学者对此次黎曼猜想的证明过程质疑。当然,还一些学者认为,阿蒂亚爵士的思路或为后续黎曼猜想证明提供了一种新思路。

虽然历史上也有人曾宣称自己“证明了黎曼猜想”,但是最终都被发现存在严重的漏洞。如何才能真正证明黎曼猜想?卢昌海昨晚文字回复中国之声记者称,虽然具体方法可以千变万化。如果是证明黎曼猜想不成立,则相对“简单”些,举出一个反例亦可达到目的。

阿蒂亚结束演讲后,现场响起了热烈掌声,然而论证本身最终能否经得起考验,还得通过专家们的苛刻审核。物理学博士、科普作家卢昌海表示,目前尚未看到有分量的专家评价——但考虑到阿蒂亚爵士的身份,如果专家认为这一报告完全不构成证明,出于对爵士的敬重他们或许会保持缄默。(中国之声)

来源:科技日报

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责任编辑:赵允智

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